Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

• Noțiuni de reamintit 

– Dacă  A și B sunt două mulțimi nevide, iar

f

este o corespondență care asociază FIECĂRUI element din A UN SINGUR element din B, spunem că avem o funcție definită pe A cu valori în B. Scriem

f:A→B

sau

A→ Bf

– A se numește DOMENIU (de definiție), B se numește CODOMENIU (domeniu de valori)

– Corespondența se notează, de obicei, cu litere mici:

f, g, h, f1, f2, f’, f”, etc

– Dacă A, B  sunt mulțimi de numere, funcția se numește numerică.

– Cum A, B sunt mulțimi, iar acestea au 3 feluri de exprimare, pentru funcții vom avea 3 moduri de definire:

a) Prin diagrame

b) Printr-un tabel 

c) Printr-o formulă analitică ( de obicei pentru A, B mulțimi infinite)

f:1, 2, 3→1, 4, 10, 16, fx=x2

• Exemple de corespondențe care NU sunt funcții

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

f:ℝ→ℝ, fx=x-3

Valoarea funcției în „punctul”

x0

este notată

fx0

și se obține înlocuind, in exprimarea analitică, pe x cu

x0

, adică

fx0=x0-3

.

De exemplu:

f2=2-3=-1

, adică valoarea lui

f

în 2 este -1.

• Imaginea funcției 

f:A→B

Este mulțimea notată

Imf=fx| x∈A

= mulțimea valorilor funcției

Evident,

Imf⊂B

De exemplu, pentru

f:0, 1, 2→ℝ, fx=x-3

f0=0-3=-3f1=1-3=-2   ⇒Imf=-3, -2, -1f2=2-3=-1

• Funcții egale

Două funcții

f:A→B, g:C→D

se numesc EGALE dacă

A=CB=Dfx=gx ∀x∈A

Exemplu:

f,g:0, 1→ℕ, fx=x, gx=x2

, sunt egale pentru că au același domeniu, același codomeniu, iar

f0=0=02=g0, f1=1=12=g1

• Graficul funcției 

f:A→B

Este mulțimea notată

Gf=x, fx| x∈A

, așadar o mulțime de perechi ordonate.

De exemplu, pentru

f:0, 1, 2→ℝ, fx=x-3

f0=0-3=-3f1=1-3=-2f2=2-3=-1⇒Gf=0,-3, 1, -2, 2, -1

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

f:A→B

este mulțimea punctelor din plan

Mx, y

, unde

x, y∈Gf

De exemplu, pentru

f:0, 1, 2→ℝ, fx=x-3, Gf=0, -3, 1, -2, 2, -1

reprezentarea grafică =

A10, -3, A21, -2, A32, -1

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

Az, t∈Gf⇔fz=t

Evident,

Az, t∉Gf⇔fz≠t

De exemplu, pentru funcția

f:ℚ→ℝ, fx=2x+1

avem

f0=1⇔A0, 1∈Gff1=2+1≠0⇔B1,0∉Gf

Mențiune: am identificat deja cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

Este dată de soluțiile ( dacă există) ale ecuației

fx=0

.

De exemplu,

–  pentru funcția

f:0, 1, 2→ℝ, fx=x-3

nu avem intersecția cu axa Ox, pentru că funcția nu ia valoarea 0.

– pentru funcția

f:0, 1, 2, 3→ℝ, fx=x-3

, avem

fx=0⇔x-3=0⇔x=3∈ℝ

, deci

A3, 0∈Gf

, fiind, așadar, intersecția cu axa Ox.

– pentru funcția

f:ℝ→ℝ, fx=x-3x-2

, ecuația

fx=0⇔x=3 sau x=2⇒Ox∩Gf=A3, 0, B2, 0

.

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

Dacă 0 este în domeniul de definiție, atunci

Oy∩Gf=B0, f0

De exemplu,

pentru funcția

f:0, 1, 2→ℝ, fx=x-3

,

Oy∩Gf=B0, -3

Pentru funcția

f:1, 2→ℝ, fx=x-3

, nu avem intersecția cu axa Oy, deoarece 0 nu este în domeniul de definiție.

• Observații

– În general, se lucrează cu funcții numerice, definite analitic.

– Funcția

f:A⊂ℝ→ℝ, fx=a, a∈ℝ

se numește funcția constantă,

Imf=a

.

– Intersecția cu axa Ox poate să nu aibă elemente, să aibă un element, mai multe elemente, sau o infinitate de elemente.

– Intersecția cu axa Oy poate să nu aibă elemente, sau să aibă un singur element.

• Riscuri (greșeli) 

Să confundăm

Imf

cu

Gf

.

KIDI- sfat:

Imf⊂B, Gf⊂AXB

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L   KIDI-10”